\section{集合 \textbullet 映射}


\begin{frame}{本节概要}
  \begin{enumerate}
    \item 我们将介绍集合相关的基本概念，以及集合的操作 (交、并、差、笛卡儿积)。
    \item 我们还会介绍映射相关的基本概念，映射的复合，以及单射、满射和双射的概念。
      映射的复合满足结合律。单射与单射的复合还是单射，满射与满射的复合还是
满射，双射的复合还是双射。一个映射是双射当且仅当其有逆映射。
  \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{集合的基本概念}
  集合我们在高中就有所了解了。对于我们，集合就是一些数学对象放在一起。
例如，一个线性方程组解的全体组成一个集合， 即所谓解集。 
又如在几何中， 我们通常是把点看作基本的对象， 一条直线、一条曲线、一个平面都是一个由点组成的集合。

\pause
\begin{definition*}[集合相关的基本观念]
  \begin{enumerate}
      \item 我们说$x$是集合$S$的元素，记作$x\in S$, 若$x$是$S$中对象。
      $x\notin S$就表示$x$不是$S$中对象。
    除了直接描述集合，集合通常通过枚举的方式或者性质来定义。
    枚举（即形式地列出所有元素）的方式适用于可数集，如$S=\{1,2,3\}$, $\bZ=\{\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\}$.
    通过性质来定义集合时我们常用集合构建的记号来表示，
    形如$S=\{x\mid \text{$x$满足性质$P$}\}$,
    或$S=\{x \in T\mid \text{$x$满足性质$P$}\}$, 其中$T$是另一个集合（这样$S$为$T$的子集）。
  如$
    [0,1]=\{x\in \symbf{R}\mid 0\leqslant x\leqslant 1\}.
  $
  再例如， 平面上适合方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的全部点的集合 $C$ 可写成
  $
    C=\left\{(x, y)\in \symbf{R}^2 ~\left\lvert~\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\right.\right\} .
$

\pause
\item 没有元素的集合称为\emph{空集} (emptyset)，记为$\emptyset$. 
  空集的观念赋予了没有、不存在等情况数学的表示。
  这样会很方便。

  \pause
\item 若集合$T$中元素都是集合$S$中元素，我们记$T\subset S$或$T\subseteq S$, 
  并称$T$包含在$S$中，$T$是$S$的\emph{子集} (subset)。
例如，全体偶数组成的集合是全体整数组成的集合的子集合。
按定义，每个集合都是它自身的子集合。
我们规定，空集合是任一集合的子集合。
  $T\subset S$且$T\neq S$时我们写$T\subsetneq S$, 
  称$T$为$S$的\emph{真子集} (proper subset)。
两个集合$S, T$ \emph{相等} (equal)（记为$S=T$）指$S\subset T$且$S\supset T$, 
  或者说$S, T$有相同的元素。

\end{enumerate}
\end{definition*}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{definition*}[集合上的基本操作]
    给定集合$S, T$, 我们可以定义
\begin{enumerate}
  \item   $S$与$T$的\emph{交} (intersection): 
    $S\cap T= \{x\mid x\in S\text{~且~}x\in T\}.$
例如，方程 $2 x-y=1$ 的解集合与方程 $x-2 y=2$ 的解集合的交就是方程组
\[
\left\{\begin{array}{l}
2 x-y=1 \\
x-2 y=2
\end{array}\right.
\]
的解集合。
显然有
$
S \cap T \subset S, \quad S \cap T \subset T .
$

\pause
 \item $S$与$T$的\emph{并} (union): 
   $S\cup T= \{x\mid x\in S\text{~或~}x\in T\}$.
例如，
$
\{1,2,3\} \cup\{2,3,4\}=\{1,2,3,4\} .
$
显然有
$
S \cup T \supset S, \quad S \cup T \supset T .
$

\pause
 \item $S$与$T$的\emph{差} (difference): 
   $ S\setminus T = \{x\mid x\in S\text{~且~}x\notin T\}$.
   如整数集减去所有偶数的集合得到的是所有奇数的集合。
   显然有$S\setminus T\subset S$.

   \pause
 \item $S$与$T$的 \emph{笛卡儿积} (cartesian product):
   $S\times T = \{(x,y)\mid x\in S, y\in T\}$.
如$\symbf{R}^2=\symbf{R}\times \symbf{R}$.
   我们也可以定义多个集合$S_1, \cdots, S_n$的笛卡儿积：
   \[
     S_1\times \cdots \times S_n=\{(a_1, \cdots, a_n)\mid a_i\in S_i\},
   \]
   其中的元素是$n$元对（即有$n$个元素的有序集），而两个$n$元对$(a_1,\cdots,a_n), (a_1',\cdots,a_n')$相等规定为：对任意的$1\leqslant i\leqslant n$有$a_i=a_i'$.
   如$P^n=\underbrace{P\times \cdots\times P}_{n~\text{个}~P}$.
\end{enumerate}
\end{definition*}
  
\end{frame}

\begin{frame}{映射相关的基本观念}
我们不光要考虑集合，我们还要考虑集合之间的联系。联系集合的是映射。
\begin{definition*}[映射相关的基本观念]
\begin{enumerate}
  \item $f$称为集合$S$到集合$T$的\emph{映射} (map, mapping) 或\emph{函数} (function)，
    记为$f\colon S\rightarrow T$, 
    若每个$x\in S$都有唯一的$f(x)\in T$与之对应。
    有时也记为$x\mapsto f(x)$; 
此时$f(x)$称为$x$的\emph{像} (image) (有时称为$x$的\emph{值} (value))，
$x$称为$f(x)$的一个\emph{原像} (preimage)。 
$S$称为映射$f$的\emph{定义域} (domain)，$T$称为\emph{陪域} (codomain, set of destination)。
\pause
    对映射$f\colon S\rightarrow T$, 我们用$f(S)$和$\im f$表示映射$f$的所有像的集合，
    称为$f$的\emph{像集}，即
    \[
      \im f=f(S)\coloneq \{f(x)\mid x\in S\}\subset T.
    \]
    对$S$的子集$U$, $f(U)$表示$U$中元素的像的集合，称为 \emph{$U$在$f$下的像}，
    即
    \[
      f(U)\coloneq \{f(x)\mid x\in U\}\subset T.
    \]
    对$z\in T$或$W\subset T$, 我们用$f^{-1}(z)$或$f^{-1}(W)$表示$z$或$W$的所有原像的集合，即
    \[
      \begin{aligned}
        f^{-1}(z)& \coloneq \{x\in S\mid f(x)=z\}, \\
        f^{-1}(W)& \coloneq \{x\in S\mid f(x)\in W\}.
      \end{aligned}
  \]
  % 无停顿是 handout 模式，此时不能加空白
  \vspace*{-1.5em}
\pause
  \end{enumerate}
\end{definition*}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{definition*}[映射相关的基本观念 (续)]
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
\item 
  映射$S\rightarrow S, x\mapsto x$称为集合$S$上的\emph{恒等映射} (identity map)，
  常记为$1_S$ (或简单地，$1$)， 亦或 $\id_S$ (或简单地，$\id$). 

  \pause
\item 两个$S$到$T$的映射$f, g$称为\emph{相等} (equal)，若对任意的$x\in S$有$f(x)=g(x)$.
  $f,g$相等记为$f=g$.

  \pause
%\item $S$ 到 $S$ 自身的映射，有时也称为 $S$ 到自身的\emph{变换} (transformation)。
\item 给定映射$f\colon S\rightarrow T$, 若$S$的子集$U$和$T$的子集$W$满足$f(U)\subset W$, 
那么我们有映射
\[
  U\rightarrow W, \quad x\mapsto f(x),
\]
这个映射称为$f$的\emph{限制} (restriction)，
  常记作$f|_{U}$或$f|U$.
  $f|_{U}$也说成是$f$限制到$U$ （目标集合$W$通常根据需要而定，而且我们总可取$W=T$）。
  \end{enumerate}
\end{definition*}
\end{frame}
\begin{frame}%{映射的乘法}
  \begin{definition*}[映射相关的基本观念 (续)]
\begin{enumerate}
    \setcounter{enumi}{4}
\item 我们可以定义映射的乘法（即复合）。
若 
\(
  f\colon S\rightarrow T,  g\colon T\rightarrow U
\)
是两个映射，
那么它们的\emph{复合} （composition) \[ g f\colon S\rightarrow U \]（这个也记为$g\circ f$）定义为
\[ g f(x)=g(f(x)). \] 
一方面，注意这里$f$的陪域与$g$的定义域相同，这样的映射$f, g$我们称为\emph{可复合的} (composable)；
另一方面，注意映射的复合是自右向左写的（先走$f$, $f$就写在右边）。
\pause
映射的复合满足结合律，即若
\[
  f\colon S\rightarrow T, g\colon T\rightarrow U,\quad h\colon U\rightarrow V
\]
  是三个映射，那么
\[
  (h g) f=h (g f), 
  \]
  因为对任意的$x\in S$有
\[
  ((h g) f)(x)=h(g(f(x)))=(h (g f))(x).
  \]
  既然结合律成立，多个 (可复合的) 映射复合时我们可写$f_k\cdots f_2f_1$而不必强调结合方式， 且
  \[
    f_k\cdots f_2f_1(x)=f_k(\cdots (f_2(f_1(x)))).
  \]
 \end{enumerate}
\end{definition*}

\end{frame}

\begin{frame}%{映射的乘法}
\begin{block}{映射相关的基本观念 (续)}
\begin{enumerate}
    \setcounter{enumi}{5}
  \item 
令$f\colon S\rightarrow T$是一个映射。
$f$称为\emph{单} (injective) 或\emph{一到一} (one-to-one)，若$S$中不同的元素有不同的像，换句话说，对任意的$x,y\in S$有$f(x)=f(y)$蕴含了$x=y$ (换言之，$x\neq y$蕴含了$f(x)\neq f(y)$); 
$f$称为\emph{满} (surjective) 或\emph{映上的} (onto)，若对任意的$z\in T$, 存在$x\in S$使得$f(x)=z$, 即$f(S)=T$. 
若$f$既是单射又是满射，则称为\emph{双射} (bijection) 或\emph{一一对应} (one-to-one correspondence)。
容易发现，双射的逆映射是双射，双射与双射的复合还是双射
（实际上单射与单射的复合还是单射，满射与满射的复合还是满射）。

\pause
\item 对映射$f\colon S\rightarrow T$, 
  若存在$g\colon T\rightarrow S$使得 
  \[
    gf=1_S \quad\text{且}\quad fg=1_T,
  \]
  则称$g$为$f$的\emph{逆映射} (inverse) (有时称为\emph{反函数})。逆映射存在时是唯一的，记作$f^{-1}$.
易证得$f$有逆当且仅当$f\colon S\rightarrow T$是双射。
若$f$是双射，$f$的逆映射为
\[  
  f^{-1}\colon T\rightarrow S,\quad z\mapsto x~(\text{若}~f(x)=z).
  \]

  \pause
\item 有限集（指元素个数有限）$S$中包含的元素个数记为$\sharp S$或$|S|$. 
易见两个有限集合之间存在双射当且仅当它们包含相同多元素。
实际上，对有限集$S, T$, 若存在$S$到$T$的单射，那么$\sharp S\leqslant \sharp T$;
若存在$S$到$T$的满射，那么$\sharp S\geqslant \sharp T$.
 \end{enumerate}
\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
    令$\bN, \bZ, 2\bZ$分别为全体自然数的集合(我的习惯是计入$0$)、全体整数的集合、全体偶数的集合。
    映射
      \[
        f\colon \bZ\rightarrow 2\bZ, n\mapsto 2n
      \]
是 $\bZ$ 到 $2\bZ$ 的一个双射。
另外，我们有$\bN$与$\bZ$之间的一一对应
\[
  \begin{tabular}[]{C|C|C|C|C|C|C|C}
    0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 &  \cdots\\
    \hline
    0 &  1 & -1 & 2 & -2 & 3   & -3 & \cdots
  \end{tabular}
\]
或者说，我们可以如此不重复地数出所有整数。
若集合$S$与$\bN$之间存在一一对应，那么$S$称为\emph{可数无限集}。
例如$\bZ, 2\bZ$是可数无限集。
有限集和可数无限集统称为\emph{可数集}。
\end{example}

\pause
\begin{exercise}
  证明有理数集为可数集。提示：如下沿反对角线数 (跳过重复的)
  \[
  \begin{aligned}    
    &\dfrac 0 1, 
    \dfrac 1 1, \dfrac {-1} 1, \dfrac 2 1, \dfrac {-2} 1, \dfrac 3 1, \dfrac {-3} 1,  \dfrac 4 1,  \dfrac {-4} 1,\cdots\\
    &\dfrac 1 2, \dfrac {-1} 2, \dfrac 2 2, \dfrac {-2} 2, \dfrac 3 2, \dfrac {-3} 2,  \dfrac 4 2,  \dfrac {-4} 2,\cdots\\
    &\dfrac 1 3, \dfrac {-1} 3, \dfrac 2 3, \dfrac {-2} 3, \dfrac 3 3, \dfrac {-3} 3,  \dfrac 4 3,  \dfrac {-4} 3, \cdots\\
& \cdots\cdots\cdots
\end{aligned}
\]
\end{exercise}

\end{frame}

\begin{frame}


\begin{example}
令$P^{n\times n}$ 为数域 $P$ 上全体 $n$ 阶矩阵的集合， 
  行列式函数
  \[
    \det\colon P^{n\times n}\mapsto P, A\mapsto |A|
  \]
  是
  $P^{n\times n}$ 到 $P$ 的一个满射，但通常非单射。
\end{example}

\pause
\begin{example}
  令$P^{n\times n}$ 为数域 $P$ 上全体 $n$ 阶矩阵的集合， 
  定义映射
  \[
    \sigma\colon P\rightarrow P^{n\times n}, a\mapsto aE.
  \]
  这是 $P$ 到 $P^{n\times n}$ 的一个单射，但通常非满射（除非$n=1$）。
\end{example}

\pause
\begin{example}
设 $M, M^{\prime}$ 是两个非空的集合， $a_{0}$ 是 $M^{\prime}$ 中一个固定的元素， 
  定义映射
  \[
    \sigma\colon M\rightarrow M', x\mapsto a_0.
  \]
即 $\sigma$ 把 $M$ 的每个元素都映到 $a_{0}$, 这是 $M$ 到 $M^{\prime}$ 的一个映射（通常既非单射，也非满射）。
像这样恒取同一个元素为值的映射也称为\emph{常值映射} (constant map)。
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{example}
对于 $f(x) \in P[x]$, 求导
\[
  \sigma\colon P[x]\rightarrow P[x], f\mapsto f'
\]
定义了 $P[x]$ 到自身的一个映射。
这是满射，但非单射；$\sigma$满是因为我们可以积分找到多项式的一个原函数 (显然仍是多项式)。
类似地，令$C^n(I)$为实轴上的区间$I$上的有连续的$n$阶导数的实值函数构成的集合，则
求导定义了一个满射：
\[
  C^{n+1}(I)\rightarrow C^n(I), f\mapsto f'.
\]
\end{example}

\pause
\begin{example}[学生尚未学多元微分学，以一元函数为例]
  \label{137}
    我们来回忆下分析中的反函数定理 (参见~\cite[定理13.6]{Apo04})。若一个函数有连续偏导数且Joboci行列式在某点处不消失，
    则该函数在该点附近是个单的开映射 (开映射指将开集映为开集的映射)，
    从而有局部逆，且此局部逆有一些局部的可微性质。
    \pause
    准确的描述如下。若$f=(f_1,\cdots,f_n)$在开集$S\subset \bR^n$上有连续的偏导数，
    而且对某个$a\in S$, Jocobi 行列式$J_f(a)=\left|\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_{x=a} \neq 0$,
    那么存在开集$X\subset S$和$Y\subset f(S)$ 和唯一的函数$g\colon Y\rightarrow X$, 满足：\\
    (a) $g$是$f$的逆函数 (特别地，$Y=f(X)$, $g(Y)=X$, 且$f$在$X$上是单射)；\\
    (b) $g$在$Y$上有连续的偏导数。\footnote{若$f$的Jacobi行列式处处不消失，则$f$局部为微分同胚。}\\
    \pause
    若$f$是单射且$f$的Jaboci行列式处处不消失，则 $f\colon S\rightarrow f(S)$ 是开映射，
    其逆映射$f^{-1}\colon f(S)\rightarrow S$ 有连续的偏导数。\footnote{此时$f$为到其像集的微分同胚。}
  \end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}[以二元函数为例说明]
    \label{1C5}
    我们再来回忆下分析中的隐函数定理 (参见~\cite[定理13.7]{Apo04})。令
    \[
      f(x,y)=(f_1(x,y),\cdots,f_k(x,y))
    \]
    是
    $\bR^{n+k}$的一个开子集$W$上的向量值函数，其中每个$f_i(x,y)$是有连续偏导数的实值函数。
    设$(a,b)\in W$, 且Jacobi行列式
    \[
      \begin{vmatrix}
        \frac{\partial f_1}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_k} \\
        \vdots  & \vdots \\
        \frac{\partial f_k}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial f_k}{\partial y_k}
      \end{vmatrix}
    \]
    在$(a,b)$处非零。那么存在$a$在$\bR^n$中的邻域$U$使得存在唯一的$U$上的向量值函数
$g(x)=(g_1(x),\cdots,g_k(x))$ 使得每个$g_i$有连续的偏导数且
    \[
      f(x, g(x))=0 ,\quad \text{且}\quad g(a) =b.
    \]
  \end{example}

  \end{frame}

  \begin{frame}{集合论、范畴论}
高中时我们已经了解到了Russel悖论（$\{\text{集合~}X\mid X\notin X\}$不是集合），这表明我们不能随便地用性质来构造集合。
现代的集合论采用了公理化的方法来避开可能的陷阱。
一个有名的公理体系是Zermelo-Fraenkel公理体系。
不包含选择公理的那部分构成的体系简称为ZF，加入选择公理后简称ZFC. 
简要的介绍可以看看~\cite{ZX98} 的附录。
要想深入的话，可以翻翻读读~\cite{Jec03}（这是集合论方面的专著）的前五章，
了解下ZFC公理体系，了解下序数与基数，了解下连续统假设，了解下选择公理、Zorn引理、良序定理及它们的等价性。%
\footnote{有许多应用Zorn引理证明的例子：每个向量空间有一个基；
每个域有唯一的代数闭包；Hahn-Banach延拓定理；紧空间的Tikhonov乘积定理；\ldots。}

~

集合简单地把一些对象放在一起，而未考虑这些对象之间的联系。
  当我们不仅把一些数学对象放在一起，同时也考虑进这些对象之间的特定的联系时，我们便有了\emph{范畴}的观念。
  例如若我们把 (某个宇宙中的) 所有集合以及这些集合之间的映射考虑进来，我们得到了集合的范畴。
再例如，我们后面讲到的线性空间，我们关心线性空间之间保持运算的映射，即线性映射。
当我们把某个数域上的所有线性空间及这些空间之间的线性映射一起考虑时，我们得到了该数域上的线性空间的范畴。
范畴的观念在现代数学中是基本的 (参见~\cite[I.11]{Lang02})。

\end{frame}


\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 集合上有哪些基本操作？
    \item 你对映射的复合认识多少？
    \item 何谓单射、满射、双射、逆映射？
      你有哪些这样的例子？
  \end{enumerate}
\end{frame}
